İletileri Göster

Bu özellik size üyenin attığı tüm iletileri gösterme olanağı sağlayacaktır . Not sadece size izin verilen bölümlerdeki iletilerini görebilirsiniz


Mesajlar - scorpion

Sayfa: 1 ... 341 342 [343] 344 345 ... 2066
5131
MATEMATİK / FAKTÖRİYEL Soru Çeşitleri
« : 04/07/11, 09:14 »
Umarım bazı arkadaşlarımıza yardımı olur.

 
Aşağıdaki resim küçültülmüştür. Buraya tıklayarak büyütebilirsiniz. Resmin orijinal boyutları 2375x3507 ve 673KB.


 
Aşağıdaki resim küçültülmüştür. Buraya tıklayarak büyütebilirsiniz. Resmin orijinal boyutları 2510x3507 ve 796KB.
     

5132
MATEMATİK / Merkezsel Konum Ölçüleri
« : 04/07/11, 09:09 »
İstatistik bilim dalında ve veri analizinde kullanılan aritmetik ortalama, medyan (ortanca), mod (tepedeğer), geometrik ortalama, harmonik ortalama, vb. ölçülerinin tümünü ifade eden kavrama merkezsel konum ölçüleri adı verilmektedir.
Merkezsel konum ölçülerinin isimleri ve formüllerinin bir özeti aşağıda verilmiştir:
 
Aşağıdaki resim küçültülmüştür. Buraya tıklayarak büyütebilirsiniz. Resmin orijinal boyutları 1070x639 ve 47KB.

5133
MATEMATİK / Olasılık Teorisi
« : 04/07/11, 09:09 »
Fiziksel ve sosyal bir olgunun kesin olarak belirlenmesi olanaksız da olsa, bu tür olgular yeterince gözlendiklerinde belirli bir düzenleri oldukları saptanabilir. Bu düzenin matematiksel ifadesini elde etmek, olguların gerçekleşmesine ilişkin yargılarımızı, önermelerimizi sayılaştırmak olasılık teorisinin sunduğu araçlarla olanaklıdır. Basitçe ifade edersek olasılık, rastlantısal bir olguya ilişkin bir önermenin kesine yada olanaksıza ne kadar yakın olduğunu gösteren bir sayıdır.

‘’0’’ olanaksızı ‘’1’’ ise kesini simgeler. Olasılık, objektif yöntemlerle ve/veya sübjektif süreçte hesaplanabilir. Bu büyük ölçüde ilgilenilen olayın niteliğine ve dolayısıyla baş vuracağımız olasılık tanımına bağlı olacaktır. Olasılığın 3 temel tanımını görmeden önce, bu tanımlarda ortak kullanılan temel kavramları ele alalım.


TEMEL KAVRAMLAR

Rastlantısal Deney ve Rastlantısal Deneme:
Raslantısal deney ya da kısaca deney, sonucu kesin olarak bilinmeyen olgulara ilişkin gözlem yapma ya da veri toplama süreci olarak tanımlanabilir. Örneğin hilesiz bir para 3 kez atılırsa kaç kez tura geleceğini, bir fabrikada üretilen makine parçalarının defoluluk yüzdesini tahmin etmek amacıyla çekilecek 40 adet makine parçasının kaç tanesinin defolu olacağını önceden bilemeyiz. Öyleyse madeni para 3 kez atılıp, kaç kez tura geldiği sayıldığında ya da 40 adet makine parçası kontrol edildiğinde birer rastlantısal deney yapılmış olur.

Raslantısal deney raslantısal denemelerden oluşur. Paranın 3 kez atılması rastlantısal deney ise, her bir atış bir raslantısal denemedir. Rastlantısal deney 40 adet makine parçasının incelenmesi ise, her parçanın kontrolü bir rastlantısal denemedir. Süphesiz rastlantısal deney tek bir denemeden oluşuyorsa deney – deneme kavramları denk olur.

Sonuç:
Her bir denemede elde edilen durum denemenin sonucu olarak adlandırılır. Örneğin para ikinci atışta tura gelmişse ya da kontrol edilen 17. Parça defolu ise bu durumda para atışı deneyinin 2. Denemesinde sonucu ‘’Tura’’, parçaların kontrolü deneyinin 17. Denemesinin sonucu ‘’Defolu’’ olarak gerçekleşmiş denilecektir.


Örnek Uzay:

Bir rastlantısal deneyde gerçekleşebilecek tüm mümkün farklı sonuçların oluşturduğu küme örnek uzay olarak adlandırılır.

Örneğin rastlantısal deney hilesiz bir zarın bir kez atılması ise, deney 6 farklı biçimde sonuçlanabileceği için örnek uzay S= {1,2,3,4,5,6} olacaktır. Zar iki kez atılıyorsa, bu deney 36 farklı şekilde sonuçlanabilir : S= {(1, 1) , (1, 2) , (1, 3) , ...., (4, 6) , (5, 6) , (6, 6) }. Rastlantısal deney bir makine parçasının kontrolü ise, iki farklı sonuç mümkündür; parça defoludur ya da değildir. Öyleyse örnek uzay S={Defolu, Defosuz} olacaktır.

Örnek uzay kesikli veya sürekli olabilir. S= { 1,2,3,4,5,6} gibi sonlu ya da S= {2,4,6,8,...} gibi sayılabilir sonsuz değerlerden oluşan örnek uzaylar kesikli olarak nitelendirilirken, bir doğru parçası üzerindeki ya da bir düzlem içindeki noktalar gibi sayılamayan sonsuz sayıda elemandan oluşan, dolayısıyla tek tek değerler yerine S= { X| a< x < b } gibi bir aralıkta ifade edilen örnek uzaylar ise sürekli olarak düşünülecektir.

Örnek uzayın kesikli ya da sürekli oluşu rastlantısal deneyi belirleyen değişkene ve bazen de bizim ölçme ya da kriterimize bağlıdır. Örneğin dayanma süresini test etmek amacıyla, bir ampulün teli yanana kadar açık bırakıldığını düşünelim. Ampulün teli hemen yanabileceği gibi, sonsuza kadar da bozulmadan (teorik olarak) kalabilir. Öte yandan zaman sürekli bir değişken olduğu için ampulün ömrü bizim ölçme hassaslığımıza (saat, dakika, saniye vs.) bağlı olarak her değeri alabilir. Öyleyse bu deneyin örnek uzayı S= { X | 0 < X < ¥ } olacaktır. Aralık olarak ifade edilen bu örnek uzay süreklidir. Ancak var sayalım ki, pratik nedenlerle ampulün dayanma süresi tam sayı olarak ifade edilmek istensin. Örneğin 2 saat 46 dakika olan bir değer en yakın tam değer olan 3 ile gösterilsin. Bu durumda örnek uzay negatif olmayan tam sayılardan S={0,1,2,3,...,¥} oluşan sayılabilir sonsuz yani kesikli örnek uzay olacaktır.

Olay:
Örnek uzayın herhangi bir alt kümesine olay denir. Örneğin
bir zarın atılması deneyinin örnek uzayı S= {1,2,3,4,5,6}’ in
alt kümeleri olan A1 = { 1,3,5 } , A2 = { 2,4,6 } , A3 = { 1,2 }
kümeleri birer olayı gösterebilir. Sözlerle ifade edilirse A1
olayı zarın tek gelmesi , A2 olayı zarın çift gelmesi, A3 olayı
ise zarın 3’ ten küçük bir sayı gelmesi olabilir.

Yukarıda verilen ampul örneğinde ise ampulüm ömrünün 120 saatten az olması B1={x | x<120} ya da 75 ile 1200 saat arasında olması B2={x | x 75 < x < 1200 }, 250 fazla olması B3={ x|x >250} alt kümeleri birer olayı simgeler.


Uygulama: Hilesiz bir para üç kere atılsın. Örnek uzayı en az tura gelmesi olayının kümesini oluşturduğumuzda.

En az 2 tura gelmesi olayını A ile gösterelim. S ve A;

S = { TTT, TTY, TYT, TYY, YTT, YTY, YYT, YYY} A={ TTT, TTY, YTY,YTT} olacaktır.


Olayların çeşitli kombinasyonları da aynı örnek uzayda yeni olayların tanımlanmasını sağlar. Aşağıda bunların temel olanları, Venn şemalarıyla birlikte verilmiştir.

A1 ÈA2 : A1’ in veya A2’ nin veya her ikisinin
De gerçekleşmesi olayıdır.

A1A2 : A1 ve A2 olaylarının her ikisinin de
Gerçekleşme olayıdır.

At1: A1’ in tümleyeni olarak adlandırılacak
Bu olay A1’ in gerçekleşmemesi olayıdır.

A1 \ A2 : A1’ in gerçekleşmesi ve A2 ‘ nin
Gerçekleşmemesi olayıdır.


Aynı anda gerçekleşmeleri mümkün olmayan diğer bir deyişle kesişmeleri boş küme olan olaylara ayrık olaylar denir. Örneğin olay kavramını tanımlarken örnek verilen A1 ve A2 olayları aynı anda gerçekleşmeleri olanaksız olduğu (zar hem tek hem de çift sayı gelemez), dolayısıyla A1A2 = Æ olduğu için ayrıktırlar. Ancak aynı şeyi A1 ve A3 ile A2 ve A3 olayları için söyleyemeyiz. Benzer şekilde B1 ve B2 ile B2 ve B3 olayları da kesişimleri boş küme olmadığı için ayrık değilken, B1 ve B3 olayları için ayrıktır.

Aynı anda gerçekleşmeleri mümkün olmayan diğer bir deyişle kesişmeleri boş küme olan olaylara ayrık olaylar denir. Örneğin olay kavramını tanımlarken örnek verilen A1 ve A2 olayları aynı anda gerçekleşmeleri olanaksız olduğu (zar hem tek hem de çift sayı gelemez), dolayısıyla A1A2 = Æ olduğu için ayrıktırlar. Ancak aynı şeyi A1 ve A3 ile A2 ve A3 olayları için söyleyemeyiz. Benzer şekilde B1 ve B2 ile B2 ve B3 olayları da kesişimleri boş küme olmadığı için ayrık değilken, B1 ve B3 olayları için ayrıktır.


Uygulama : A, B, C olayları aşağıdaki gibi tanımlansın.
A= {a, b, c, d} B= {d, e, f} C= {c, d, f, g}

A U B, AC, BC, AB, A U C, B U C, ABC, ve A\B olaylarını yazınız.

Çözüm:

A U B= {a, b, c, d, e, f} AC= {c, d} BC= {d, f} AB= {d}

A U C= {a, b, c, d, f, g} B U C= {c, d, e, f, g} ABC= {d} A\B= {a, b, c}


OLASILIĞIN TANIMLARI
Olasılığın hesaplanmasında ya da tanımlanmasında başlıca üç temel yaklaşım olduğunu söyleyebiliriz. Bu yaklaşımlarını kısaca ele alalım.

KLASİK YAKLAŞIM
S, gerçekleşme şansları eşit (eş olasılıklı) sonuçlarından oluşan bir örnek uzayı ve A ise bu örnek uzayda tanımlı bir olayı göstersin. A olayının gerçekleşme olasılığı P ( A ), bu yaklaşımda


P ( A ) = n( A ) / n ( S )
Olarak tanımlanır.
Uygulama: Hilesiz bir zar bir kez atılırsa 4’ ten büyük bir sayı gelme olasılığı nedir?
Çözüm :
Zarın hilesiz olduğunun belirtilmesi ile zarın yüzlerinin eşit gerçekleşme şansına sahip olması, dolayısıyla klasik tanıma başvurarak olasılığın hesaplanabileceği anlaşılmalıdır. S={1, 2, 3, 4, 5, 6} ve A={5, 6} olduğuna göre


P ( A ) = 2 / 6
Olacaktır.


Örnek uzayının sonsuz olduğu durumda payda sonsuz olacağı için klasik tanımın kullanılmayacağı açıktır. Bir diğer zayıf nokta ise örnek uzayı oluşturan tüm mümkün sonuçların eş olasılıklı (eşit sansa sahip) olması gerektiği koşuludur. Bu varsayım aslında rastlantısal deneye ve deneyin nesnesine ilişkin yapılan soyutlamadır.

Bu yüzden şans oyunlarına ilişkin olasılık problemlerinde zarın, madeni paranın hilesiz ya da homojen olduğu, iskambil destesinin iyi karıştırıldığı belirtilir. Aslında matematiksel nesneler de fiziksel açıdan soyutlanmıştır. Doğruların kalınlığı düzlemlerin yüksekliği yoktur. Bir noktadan eşit uzaklıktaki noktaların geometrik olarak tanımlanan çemberler pürüzsüzdür. Oysa bir kağıdın üzerine çizdiğiniz doğru, düzlem ya da çember matematiksel ifadelerine tam olarak uymazlar. Kağıdın dokusu, mürekkebin kalınlığı nedeniyle aslında hepsi fiziksel olarak 3 boyutludur. Ancak matematiksel nesneleri salt matematiksel düşünen, onlara fiziksel bir anlam katmayan matematikçiler (işlerini iyi yapmaları için bu şarttır.) için bu durum sakınca yaratmaz. Klasik tanımda yapılan soyutlama da bu anlamda matematiksel açıdan idealdir ve olasılık hesabına kolaylık sağlar. Ancak olasılık yaşama ilişkindir ve tüm mümkün sonuçların her zaman eşit şansa sahip olduğunu iddia etmek gerçekçi olmaz. Örneğin yarın yağmur yağma olasılığı ile ilgileniyorsak, örnek uzayın iki elemanı vardır. S={Yağmur yağar,Yağmur yağmaz}; klasik tanıma göre bu iki mümkün durumu eş olasılıklı kabul etmemiz, dolayısıyla her koşulda, her mevsimde yağmur yağma olasılığını ½ olarak vermemiz gerekir. Benzer şekilde kuzey anadolu fay hattında 2005 yılına kadar deprem olma olasılığı ile ilgileniyorsak yine iki mümkün durum vardır: S={Deprem olur, Deprem olmaz} . Hiçbir jeolojik inceleme yapmaksızın, deprem tarihi incelenmeksizin bu iki durumun eşit şansa sahip olduğunu iddia etmek şüphesiz gerçekçi olmayacaktır.

FREKANS TANIMIKlasik yaklaşımda rastlantısal deney soyut bir kavramdır. Yani deneyin fiziksel olarak gerçekleştirilmesi gerekmez. Diğer bir deyişle olasılıklar önsel (a priori) verilir. Paranın hilesiz olduğu var sayılır ve tura gelme olasılığı 0,50 olarak hesaplanır. Hilesiz olduğuna emin olmadığımız bir madeni paranın tura gelme olasılığı ile ilgileniyorsak, bu olasılığı bulmanın bir yolu söz konusu parayı yeterince atmak olabilir. Para n kez atılırsa ve n ( A ) kez tura gelirse n( A )/n oranını yani tura sayılarının frekans oranını tura gelme olasılığı kabul edebiliriz. Sezginsel olarak para ne kadar çok atılırsa n ( A )/n oranının gerçek olasılığa o kadar çok yaklaşacağını söyleyebiliriz.

Öyleyse olasılığın istatistiksel tanımı da denilen bu yaklaşımda, bir A olayının olasılığı

P ( A ) = lim n( A )/ n
n®¥
olarak tanımlanabilir. Burada n, rastlantısal deneyin tekrarlanma sayısını, n ( A ) ise, bu denemelerde A olayının gerçekleşme sayısını (frekansını) göstermektedir. Öyleyse bu tanımda olasılıklar klasik tanımın tersine sonsal (a posteiori) verilmektedir.

Zar hilesiz olduğu için klasik tanıma göre, herhangi bir yüzün gerçekleşme olasılığı


P ( A ) = 1/6
@ 0,1667

Olacaktır.
Doğada ve toplumda bir çok olayın olasılığını hesaplamada, bu olayların geçmişteki tekrar sayılarına (frekansına) başvururuz. Bu yüzden frekans tanımı geniş bir uygulama alanına sahiptir. Örneğin sigorta şirketleri belirli bir yaş grubundaki bir kişini ölme olasılığını hesaplamada daha çok ölüm istatistiğine başvururlar. Çünkü belirli bir yaş grubundaki ölümlerin toplam ölümlere oranı (frekans oranı) yıldan yıla büyük değişiklik göstermez. Geçmiş verilere bakıldığında bu oranın belirli bir değere yakınsadığı ve güvenebileceği anlaşılır.

Her ne kadar klasik tanımın kısıtlamaları (sonlu örnek uzayı ve örnek uzayın elemanlarının eş olasılıklı olması varsayımları) bu tanımda yoksa da, frekans oranı tanımının da zayıflıkları vardır. Birincisi, tanımda yer alan sonsuz kavramının pratikte neyi temsil ettiğine, gerçek olasılığa yakınsamanın gerçekleşmesi için kaç denemeye ihtiyaç olduğuna ilişkin kesin bir yanıt vermek olanaksızdır. İkincisi, bir dizi denemede belli bir değere yakınsamanın gerçekleşeceğini varsaysak bile; başka bir dizi denemede aynı değere yakınsamanın gerçekleşeceğine ilişkin teorik bir garanti yoktur.


SÜBJEKTİF TANIM

Bir olayın sübjektif olasılığı, daha önceki iki tanım da olduğu gibi yalnızca objektif yöntemlerle değil, sübjektif yargılarının da hesaba katıldığı ve söz konusu olayın geçerliliğine ya da olabilirliğine ilişkin verilen ve veren kişinin olayın gerçekleşmesine ilişkin kişisel güveninin derecesini gösteren [0, 1] aralığında reel bir sayıdır. Burada 0 olanaksızlığı, 1 ise kesinliği simgeler.

Sübjektif tanım, piyasaya ilk kez sürülecek olan bir ürünün % 25’ lik Pazar payı alması, 2015 yılında bir meteorun dünyaya çarpması ya da 20 yıl içerisinde Kuzey anadolu fay hattı üzerinde merkez üssü İstanbul’ un güneyi ve 7 büyüklüğünde bir deprem olması gibi gelecekte gerçekleşecek olayların olasılığını hesaplamada kullanılabilir. Olasılıklar tayin edilirken objektif veriye ve / veya sübjektif yargıya başvurulur. Örneğin deprem olasılığını hesaplayacak uzmanlar, son depremdeki fay deformasyonunun boyutunu, fayın ne kadar kırıldığını incelemek ve riskli fayın 3 boyutlu görüntüsünü çıkarmak suretiyle gelecek depreme ilişkin sübjektif yargıda bulunabilirler.

Bunun yanı sıra geçmişteki düzenli levha hareketlerini, daha önceki tarihte, hangi noktalarda, ne büyüklükte depremlerin olduğuna ilişkin objektif veriyi de sübjektif yargıyla birleştirerek olasılıkları tayin edebilirler. Ancak başvurdukları kriterlere, bilgi birikimlerine ve yeteneklerine göre farklı uzmanların farklı olasılıklar verebileceğini de sübjektif tanımda doğallıkla kabul etmemiz gerekir. Bir A olayının olasılığı bu yaklaşımda şu şekilde verilebilir. Örneğin deprem olma şansını, olmama sansının 3 katı görüyorsak,


P ( A ) / 1-P ( A ) = 3 / 1
Eşitliğini yazabiliriz. Buradan P ( A )

P ( A ) = 3 – 3P ( A )
&THORN; P( A ) = ¾

Olur. Öyleyse A’ ya verilen şans x, verilmeyen şans y ise,

P ( A ) / 1 – P ( A ) = X / Y
Eşitliğinden A olayının gerçekleşme olasılığı

P ( A ) = X / X+Y
Olarak elde edilebilir. Başka bir deyişle ifade edilirse, bir A olayının gerçekleşmesine ilişkin sübjektif olasılık:

P ( A ) = A’ ya verilen
şans / Toplam şans

Olarak tanımlanabilir. verilen şanslar ise genellikle kısaca x : y notasyonu ile belirtilir. Öyleyse yukarıdaki örnekte verilen şanslar 3 : 1 olarak ifade edilebilir.


OLASILIK TEORİSİNİN AKSİYOMATİK YAPISI

Matematiğin aksiyomatik yapısının 3 temel unsuru vardır:

Tanımsız terimler (Örn: Öklit geometrisinde nokta, doğru yada küme teorisinde küme, eleman)
Tanımsız ilişkiler (Örn: doğru üzerinde bir nokta, X kümesinin elemanı)
Aksiyomlar (Örn: iki noktadan bir doğru geçer). Aksiyomların sezgisel olarak doğrulukları açıktır ve ispatlamadan doğru olarak kabul edilirler.

Bu üç temel unsurdan yararlanarak, teoremler, yardımcı teoremler, sonuçlar vs. ile matematiksel yapı oluşturulur. Olasılık teorisi de aksiyomatik bir yapı olarak ele alınırken, olasılığın kendisi tanımsız bir terim olarak düşünülür. Yani olasılık teorisinde olasılığın ne olduğu sorusunun değil, nasıl hesaplanacağı sorusunun anlamı vardır.

Olasılık Teorisinin Aksiyomları:

S bir rastlantısal deneye ilişkin örnek uzay olsun. Olasılık teorisinde olasılığın ölçümünü sağlayacak aşağıdaki 3 aksiyoma başvurulur:

P( A ) ³ 0
P( S ) = 1
S örnek uzayı A1, A2,.....An,...... ayrık olaylarından oluşuyor ise;


P ( A1 U A2 U.....U An,...) = P (A1)+P (A2)+......+P (An)+...
Eşitliği yazılabilir. A olayının olasılığı P ( A ) daha önce tartışılan 3 tanımdan herhangi biriyle hesaplanabilir. Ancak hesaplanan bu olasılığın yukarıda verilen 3 aksiyomuda sağlaması gerekir.

Uygulama:
A1, A2, A3, A4 bir örneklem uzayını oluşturan ayrık olaylar ise, aşağıda bu olaylara ilişkin verilen olasılıkların uygunluğunu tartışalım.
(a) P (A1)=2 / 3 P (A2)=1 / 6 P (A3)= 1 / 12 P (A4)= 1/ 12
(b) P (A1)=1 / 4 P (A2)=2 / 4 P (A3)= 2 / 4 P (A4)= 1/ 4
(c) P (A1)=1 / 2 P (A2)=3 / 5 P (A3)= 1 / 5 P (A4)= 2/ 5
Verilen olasılıklar olasılık teorisinin 3 aksiyomu ile tutarlı olmak zorundadır.
Olasılıkları hepsi pozitif olduğu için birinci aksiyomu (P (A1) ³ 0) sağlanır. Toplamlar 1’ i verdiği için ikinci aksiyom ( P ( S )= 1)sağlanır. Üçüncü aksiyom (P ( A1 U A2 U A3 U A4)=P(A1)+P (A2)+P (A3)+ P (A4)) olayların tanımından dolayı sağlanır. Öyleyse bu şıkta verilen olasılıklar tutarlıdır.

Birinci aksiyom sağlanıyorsa da toplam olasılık (6 / 4) 1’ den büyüktür; dolayısıyla ikinci aksiyom sağlamaz. Bu yüzden olasılıklar geçerli değildir.

P (A3) < 0 olduğu için birinci aksiyom sağlamaz. Bu yüzden olasılıklar geçersizdir.


Bazı Önemli Teoremler:

Ai, S örnek uzayında tanımlı bir olay olsun. P (Ai) olasılığının hesaplanmasında daha önce söz edilen 3 tanımdan da faydalanılabilir ve üç aksiyom kullanılarak çeşitli teorem ve sonuçlar elde edilebilir. Aşağıda bunlardan bazılarına yer verilmiştir.


Teorem 1: At, A olayının tümleyeni ise P (At ) = 1 – P ( A )
Teorem 2: P ( Æ ) = 0

Teorem 3: A1 Ì A2 ise P (A1) £ P (A2)

Teorem 4: P (A1 U A2) = P(A1) + P(A2) – P (A1A2)

3 olayda söz konusu ise;

P( A1 U A2 U A3)= P(A1) + P(A2) + P(A3) – P(A1A2) – P(A1A3) – P(A2A3) + P(A1A2A3)

Olacaktır.

(Boole eşitsizliği): P(A1 U A2) £ P(A1) + P(A2)
teoremin bir sonucu olan Boole eşitsizliğinin genel hali ise

n n

P
(UAi)= åP(Ai)
i=1 i=1

Olarak yazılabilir.
Teorem 5: 0 £ P ( A )£ 1
Teorem 6: P ( A ) = P (AB) + P (ABt)


Olasılık hesaplarını sınamak için 6 çeşit uygulama gerçekleştirdim.
Bu uygulamalarda araç olarak kullandığım zarları,5 yeni kuruştan biraz daha küçük minyatür plastik tavla pullarını,zarları içine koyduğum bardağı ve pulları içine koyduğum torba ile zarları üzerine fırlattığım masayı hiç değiştirmedim.
Zar atışlarında zarları bardak içine koyarken hiç bakmadım ve her seferinde bardağı hep çalkaladım.
Zarları masanın üzerine fırlatırken ilk önce karton bir duvara çarptırdım.
Pul çekilişlerinde 44 adet pul kullandım ve çektiğim pulları tekrar torbaya koymayı hiç unutmadım,her defasında torbayı iyice salladım.
Zar atılışlarında her iki zar aynı anda atıldığı için öncelik sıralaması yapmadım.Örneğin 2-3 ile 3-2 sonucunu aynı kabul ettim.
Her uygulamada 1 seans,50 zar atılışı veya pul çekilişinden oluştu.
Her bir uygulama 25 seanstan oluştu.Böylece her bir uygulama için ayrı ayrı 1250 zar atılışı ve pul çekilişi gerçekleştirdim.
Uygulama 10.5.2008 tarihinde başladı,17.6.2008 tarihinde bitti.
UYGULAMALAR
6-6 gelmesi için atılan zarlar
Ø Amaç:Zarların 6-6 gelmesi.
Ø Yöntem:1 seans 50 zar atılışı olmak üzere 25 seansta toplam 1250 atış.
Ø Sonuçlar:Toplam 35 kez 6-6 geldi.
Detay:
Seans sayısı Kaçar kez 6-6 geldiği
7----------------0
6----------------1
7----------------2
5----------------3
Toplam :25 seans,35 kez 6-6
Çift gelen zarlar
Ø Amaç:Atılan zarların 1-1, 2-2, 3-3, 4-4, 5-5, 6-6 gelmesi.
Ø Yöntem: 1 seans 50 zar atılışı olmak üzere 25 seansta toplam 1250 atış.
Ø Sonuçlar:Toplam 200 kez çift zar geldi.
Seans sayısı Kaçar kez çift zar geldiği
1----------------3
1----------------4
5----------------5
1----------------6
5----------------7
1----------------8
2----------------9
1----------------10
6----------------11
1----------------12
1----------------13
Toplam 25 seans,200 kez çift zar.
Detay:
1-1 :36 kez geldi.
2-2 :30 kez geldi.
3-3 :32 kez geldi.
4-4 :32 kez geldi.
5-5 :43 kez geldi.
6-6 :27 kez geldi.
Gelmesi istenen zarlar
Ø Amaç:Aklımdan geçen zarları atmak.
Ø Yöntem: 1 seans 50 zar atılışı olmak üzere 25 seansta toplam 1250 atış.
Her seansta 1-1, 1-2 ile başlayıp 6-6 ile sona eren 21 ihtimali 2 kez rastgele sıraladım.8 ihtimali de rastgele ilave ettim.
Ø Sonuçlar: Toplam olarak 59 kez aklımdan geçen zarlar geldi.
Detay:
Aklımdan geçen zarlar Kaç kez geldiği
1-1--------------------------2
1-2 (veya 2-1)------------4
1-3 (veya 3-1 )-----------5
1-4 (veya 4-1)------------1
1-5 (veya 5-1)------------5
1-6 (veya 6-1)------------4
2-2--------------------------1
2-3 (veya 3-2)------------3
2-4 (veya 4-2)------------3
2-5 (veya 5-2)------------5
2-6 (veya )6-2------------1
3-3--------------------------3
3-4 (veya 4-3)------------2
3-5 (veya 5-3)------------5
3-6 (veya 6-3)------------3
4-4--------------------------2
4-5 (veya 5-4)------------1
4-6 (veya 6-4)------------3
5-5--------------------------2
5-6 (veya 6-5)------------2
6-6--------------------------2
Toplam 25 seans,59 kez gelmesi istenen zar.

Çift gelen zarlar
Ø Amaç:Atılan zarların 1-1, 2-2, 3-3, 4-4, 5-5, 6-6 gelmesi.
Ø Yöntem: 1 seans 50 zar atılışı olmak üzere 25 seansta toplam 1250 atış.
Ø Sonuçlar:Toplam 200 kez çift zar geldi.
Seans sayısı Kaçar kez çift zar geldiği
1----------------3
1----------------4
5----------------5
1----------------6
5----------------7
1----------------8
2----------------9
1----------------10
6----------------11
1----------------12
1----------------13
Toplam 25 seans,200 kez çift zar.
Detay:
1-1 :36 kez geldi.
2-2 :30 kez geldi.
3-3 :32 kez geldi.
4-4 :32 kez geldi.
5-5 :43 kez geldi.
6-6 :27 kez geldi.
Gelmesi istenen zarlar
Amaç:Aklımdan geçen zarları atmak.
Ø Yöntem: 1 seans 50 zar atılışı olmak üzere 25 seansta toplam 1250 atış.
Her seansta 1-1, 1-2 ile başlayıp 6-6 ile sona eren 21 ihtimali 2 kez rastgele sıraladım.8 ihtimali de rastgele ilave ettim.
Ø Sonuçlar: Toplam olarak 59 kez aklımdan geçen zarlar geldi.
Detay:
Aklımdan geçen zarlar Kaç kez geldiği
1-1--------------------------2
1-2 (veya 2-1)------------4
1-3 (veya 3-1 )-----------5
1-4 (veya 4-1)------------1
1-5 (veya 5-1)------------5
1-6 (veya 6-1)------------4
2-2--------------------------1
2-3 (veya 3-2)------------3
2-4 (veya 4-2)------------3
2-5 (veya 5-2)------------5
2-6 (veya )6-2------------1
3-3--------------------------3
3-4 (veya 4-3)------------2
3-5 (veya 5-3)------------5
3-6 (veya 6-3)------------3
4-4--------------------------2
4-5 (veya 5-4)------------1
4-6 (veya 6-4)------------3
5-5--------------------------2
5-6 (veya 6-5)------------2
6-6--------------------------2
Toplam 25 seans,59 kez gelmesi istenen zar.
Gelen zarlar
Ø Amaç:Atılan zarların ne olduğunu gözlemlemek.
Ø Yöntem: 1 seans 50 zar atılışı olmak üzere 25 seansta toplam 1250 atış.
Ø Sonuçlar:
Gelen zarlar….. Kaç kez geldiği
1-1------------------39
1-2 (Veya 2-1)----61
1-3 (Veya 3-1)----76
1-4 (Veya 4-1)----68
1-5 (Veya 5-1)----62
1-6 (Veya 6-1)----62
2-2------------------27
2-3 (Veya 3-2)----67
2-4 (Veya 4-2)----75
2-5 (Veya 5-2)----77
2-6 (Veya 6-2)----80
3-3------------------37
3-4 (Veya 4-3)----56
3-5 (Veya 5-3)----75
3-6 (Veya 6-3)----70
4-4------------------40
4-5 (Veya 5-4)----76
4-6 (Veya 6-4)----73
5-5------------------43
5-6 (Veya 6-5)----61
6-6------------------25
Toplam:25 seans,1250 sonuç.
Belirli bir pulun gelmesi
Ø Amaç:İşaretli pulun gelmesi.
Ø Yöntem: 1 seans 50 çekiliş olmak üzere 25 seansta toplam 1250 çekiliş.
44 puldan birisinin işaretlenmesi.
Ø Sonuçlar:Toplam 1250 çekilişte 31 kez işaretli taş bulundu.
Detay:
Çekiliş sayısı Kaçar kez işaretli taş çekildiği
7----------------0
9----------------1
6----------------2
2----------------3
1----------------4
Toplam 25 seans,31 kez işaretli taş
Ø Yorum:Toplam 1250 kredi puanı ile oyuna başladığımı,bulunan herbir işaretli taş için 50 puan kazanacağımı düşünürsek 300 puan kazançlı çıkmış olurum.
Çekilen pulların renk sıralaması.
Ø Amaç:Birbiri peşisıra çekilen pulların kırmızı mı sarı mı geldiği.
Ø Yöntem : 1 seans 50 çekiliş olmak üzere 25 seansta toplam 1250 çekiliş.
22 adet kırmızı 22 adet sarı pul kullanıldı.
Ø Sonuçlar: 635 kez kırmızı, 615 kez sarı taş çekildi.
Detay:
Seans sırası Kaçar kez kırmızı ve sarı çekildiği
1----------------24,26
2----------------26,24
3----------------27,23
4----------------32,18
5----------------22,28
6----------------22,28
7----------------23,27
8----------------26,24
9----------------29,21
10--------------26,24
11--------------20,30
12--------------27,23
13--------------26,24
14--------------30,20
15--------------26,24
16--------------29,21
17--------------19,31
18--------------26,24
19--------------19,31
20--------------30,20
21--------------25,25
22--------------19,31
23--------------31,19
24--------------26,24
25--------------25,25
Toplam:25 seans,1250 taş çekilişi.
Yorum:Eşit şans oranı (1/2) hemen hemen gerçekleşmiş oldu

5134
MATEMATİK / Büyük Sayılar Yasası
« : 04/07/11, 09:03 »
Büyük sayılar yasası, bir rassal değişkenin uzun-vadeli kararlılığını tanımlayan bir olasılık teoremidir. Sonlu bir beklenen değere sahip birbirinden bağımsız ve eşit dağılıma sahip bir rassal değişkenler örneklemi verildiğinde, bu gözlemlerin ortalaması sonuçta bu beklenen değere yakınsayacak ve bu değere yakın bir seyir izleyecektir.
Büyük sayılar yasası bir zarın peş peşe atılması ile örneklenebilir. Öyle ki, multinom dağılımı sonucunda 1, 2, 3, 4, 5 ve 6 sayılarının gelme olasılığı eşittir. Bu sonuçların nüfus ortalaması (ya da "beklenen değer"i),
(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) / 6 = 3,5

olur. Sağdaki grafik bir zarın atılması deneyinin sonuçlarını göstermektedir. Bu deneyde görürüz ki, ilk başta zar atışlarının ortalaması çılgınca dalgalanmaktadır. Büyük sayılar yasası tarafından öngörüldüğü üzere, gözlem sayısı arttıkça, ortalama, beklenen değerin yani 3,5'in etrafında dengelenmektedir.
Bir başka örnek madeni para atılması olabilir. Bir madeni paranın peş peşe atılması durumunda, yazıların (ya da turaların) sıklığı, gözlem sayısı arttıkça, %50'e gittikçe yaklaşacaktır. Fakat yazı ve tura sayıları arasındaki mutlak fark atış sayısı arttıkça açılacaktır. Örneğin, 1000 atıştan sonra 520 ve 10000 atıştan sonra 5096 yazı görebiliriz. Ortalama, 52'den, 5096'ya gittiği, gerçek %50'ye yaklaştığı halde, ortalamadan toplam fark 20'den 96'ya yükselmiştir.
Büyük sayılar yasası önemlidir, çünkü rastgele olaylardan kararlı uzun-vadeli sonuçlar alınacağını "garanti eder". Örneğin, bir gazino tek bir Amerikan Rulet dönüşünden para kaybedebilir, ama 1000'lerce dönüşe oynanan paranın tamamının %5,3'üne yakınını neredeyse kesin olarak kazanacaktır. Bir oyuncunun herhangi bir kazancı, sonuçta oyunun başlıca parametreleri tarafından soğurulacaktır. Büyük sayılar yasasının büyük sayıda gözlem yapıldığı zaman etkili olacağı unutulmamalıdır. Küçük miktardaki gözlem için sonucun beklenen değere yaklaşacağını veya bir sapmanın hemen bir başkasıyla "dengeleneceğini" beklemek için bir neden yoktur.

Geçmiş
Büyük sayılar yasası ilk olarak Jacob Bernoulli tarafından tanımlanmıştır. 1713'te "Ars Conjectandi" (Varsayımın Sanatı) adlı eserinde yayınlanan yeterli derecede titiz bir kanıtı geliştirebilmesi 20 yılına mal olmuştur. Bunu kendisinin "Altın Teoremi" olarak adlandırmış, fakat yaygın olarak "Bernoulli'nin Kuramı" olarak bilinmektedir(Bernoulli kuramı fizik kuramıyla karıştırılmaması gerekir). 1835'te S. D. Poisson, bu yasayı "La loi des grands nombres" (Büyük sayılar yasası) olarak adlandırmıştır. İki isimde de anılagelen bu yasa için "Büyük sayılar yasası" terimi daha fazla kullanılmaktadır.
Bernoulli ve Poisson kendi çalışmalarını yayımladıktan sonra, Chebyshev, Markov, Borel, Cantelli ve Kolmogorov'un da aralarında yer aldığı diğer matematikçiler de yasanın gelişmesine katkıda bulunmuşlardır. Bu çalışmalar yasanın iki belirgin biçiminin ortaya konulmasında etkili olmuştur. Bu biçimlerden biri "zayıf" yasa, diğeri de "güçlü" yasa olarak adlandırılır. Bu biçimler farklı yasaları tanımlamamaktadır, sadece ölçülmüş olasılığın, gerçek olasılığa yakınsamasını tanımlamanın farklı yollarıdır ve büyük olan küçüğü içerir.

Biçimler
Yasanın her iki ifadesi de örneklem ortalamasının
beklenen değere yakınsadığını
ifade eder.
Burada X1, X2, ... değerleri
E(X1)=E(X2) = ... = µ < ∞

beklenen değerlerine sahip, bağımsız ve eş aralıklı (i.i.d.) sonsuz rassal değişken sırasını simgeler.
Bir sonlu varyans

Var(X1) = Var(X2) = ... = σ2 < ∞

varsayımına ihtiyaç yoktur. Büyük veya sonsuz varyans yakınsamayı daha yavaş kılacaktır, fakat büyük sayılar yasası hala geçerlidir. Kanıtları daha kolay ve kısa tutmak için bu varsayım genellikle yapılır.
Güçlü ve zayıf ifadeler arasındaki fark, hangi tür yakınsamadan bahsettiğimizdir.

1. Zayıf Yasa
Büyük sayıların zayıf yasası belirtmektedir ki, örneklem ortalamasının olasılıkta yakınsaması
beklenen değere doğru gerçekleşir
Bu, herhangi bir pozitif ε sayısı için
Olasılıkta yakınsamayı yorumlarsak, zayıf yasa der ki, bir çok gözlemin ortalaması giderek ne kadar küçük olduğuna bakılmaksızın, verilen herhangi bir sıfırdan farklı sınır dahilinde olmak üzere, ortalamaya yakın olacaktır.
Bu ifadeye zayıf yasa denir, çünkü olasılıkta yakınsama, rassal değişkenlerin zayıf yakınsamasıdır.
Zayıf büyük sayılar yasasının bir sonucu asimptotik eşdağılım özelliğidir.

2. Güçlü Yasa
Büyük sayıların güçlü yasası der ki, örneklem ortalamasının olasılıkta yakınsaması neredeyse kesin olarak beklenen değere doğru gerçekleşir
Bu demektir ki,
Kanıt, zayıf yasadan daha karmaşıktır. Bu yasa bir rassal değişkenin beklenen değerini "art arda örneklemin uzun-vadeli ortalaması" olan sezgisel yorumunu doğrular.
Bu ifade güçlü yasa olarak adlandırılmıştır, çünkü yakınsama, rassal değişkenlerin güçlü yakınsamasıdır. Güçlü yasa, zayıfı kapsar.
Büyük sayıların güçlü yasası, ergodik teorem'in özel durumu olarak görülebilir.

5135
Tanım : Sabit olmayan, birden fazla polinom un çarpımı biçimin
de yazılamayan polinomlara indirgenemeyen polinomlar denir.
Baş katsayısı bir olan indirgenemeyen polinomlar
Asal polinomlar denir.

* P(x) = x2 + 4 , Q(x) = 3x2 + 1, R(x) = 2x – 3 , T(x) = - x + 7
Polinomları indirgenemeyen polinomlar dır.

P(x) = x2 + 4 baş katsayısı 1 olduğundan asal polinom dur.


Tanım : İçindeki değişkenlerin alabileceği her değer için doğru
olan eşitliklere özdeşlik denir.

* a) x3 (x2 – 2x) = x5 – 2x4 b) a2 (x + y)2 = a2 x2 + a2 y2 özdeşlik
c) a2 (x +y)2 = a2 x2 + a2 y2 özdeşlik değildir.


ÖNEMLİ ÖZDEŞLİKLER

I) Tam Kare Özdeşliği:
a) İki Terim Toplamının Karesi : (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
b) İki Terim farkının Karesi : (a – b)2 = a2 – 2ab + b2

İki terim toplamının ve farkının karesi alınırken; birincinin
karesi,birinci ile ikincinin iki katı, ikincinin karesi alınır.

c) Üç Terim Toplamının Karesi:
(a +b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 (ab + ac + bc) şeklindedir.


II) İki Terim Toplamı veya Farkının Küpü :

a) İki Terim Toplamının Küpü : (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
b) İki Terim Farkının Küpü : (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

Birinci terimin küpü;( ) birincinin karesi ile ikincinin çarpımının 3 katı, (+) birinci ile ikincinin karesinin çarpımının 3 katı,( ) ikin
cinin küpü biçimindedir. Bu açılımlara Binom Açılımıda denir

Not:. Paskal Üçgeni kullanılarak 4.,5.,6.,...Dereceden iki terimli
lerin özdeşliklerini de yazabiliriz.

5136
Sıfır Rakamının Tarihsel Gelişimi


Onluk sistemin bir üstünlüğü, sıfır rakamı için ayrı bir işaretin (sembolün) bulunmasıdır. Sıfır işaretinin, gerektiğinde basamaklara (hanelere) yazılması gerekmektedir. Aksi halde, boş bırakılan basamak (hane) birçok yanlış anlaşılmalara sebep olur. Örneğin : Bugün, rakamla 407 şeklinde yazdığımız, dört yüz yedi sayısını, sıfır işareti kullanmadan, 4.7 veya 4 7 (4 ve 7 nin arası biraz boş bırakılarak) şeklinde göstermek mümkünse de, anlam bakımından birçok karşılıklara sebep olabilir.
Sıfır kavramını (fikrini) ilk olarak, hangi medeniyet içerisinde ve kim tarafından ortaya konulmuş (kullanılmış) olduğunda, kaynaklar hemfikir değildi. Bununla beraber, Eski Hintliler'de, milattan sonra 632 yılından itibaren sıfır için özel bir işaretin kullanılmış olduğunu, zamanımıza kadar intikal eden belgeler göstermektedir.
Eski Hintlilerden kalma kitabelerde (yazıtlarda) görülen, rakam ve işaretler, günümüzde "Hint-Arap sistemi" olarak adlandırılan sisteme göre benzerlik olduğunu, ve nümerik (terkiym) sistemin, o devirde kullanıldığını göstermektedir. Daha sonraki yıllara ait kitabeler, sayılarda, rakamın kendi zat'i değeriyle vaz'i (konum) değeri, (yani sayı içindeki anlam değeri) arasındaki bağıntının bilindiğini, sıfır anlamını veren, "0" gibi bir işaret kullanıldığını da göstermektedir.
Sıfır için, ayrı bir özel işaretin bulunuşu ve basamak fikrinin ustaca kullanılışı, onluk sistemi (decimal), sadece matematiğin değil, ilim dünyasının, en elverişli sistemlerinden biri yapmıştır. Onluk sistemin bu hali için, Fransız matematikçi Pierre Siman Laplace (1749-1827), bu konuda "Dünyanın en faydalı sistemlerinden biridir." demektedir.

ESKİ HİNT MEDENİYETLERİNDE SIFIR

Romalı ve Çinlilerin eksine, Eski Hint alimleri, aritmetik işlemleri, özel bir harf ve işaret belirtmeden, sadece 1 den 9 a kadar olan rakamlardan istifade ederek yazarlardı. Rakamla, hesap yapmanın tek örneği olan, bu pozisyonun tespiti ve yazılması merhalesine ulaşanlar, sadece Eski Hintliler ve Mayalardı.
Kaynaklar; Hindistan'dan, 300 yıl kadar önce, sayı işaretinin, rakam şekline dönüşmeye başladığını belirtmekte. Hintliler, en geç, 6. yüzyıla doğru, belki de biraz daha önceki tarihlerde, aritmetik işlemlerde, sadece 1 den 9 a kadar devam eden dokuz ayrı rakam halinde kaldılar. Böylece, hesap işlerinde, sağdan sola doğru çoğalan (yükselen) rakamlar, ilk olarak ortaya çıktı (görüldü). Bu rakamlar, hemen hemen 622 yılından itibaren Hindistan dışında da tanınmaya başladı. Fırat'ta bir okul müdürü, aynı zamanda da manastır idarecisi olarak çalışan Suriyeli alim Sevarus Sabokht : "Bilinen bütün usullere üstün olan, Hint hesabının, yani dokuz ayrı rakamın (işaretin) maharetli usulünden bahseder" Bu durum, Hint rakamlarının mahzar olduğu ilk taktirdir. S. Sabokht, bu dokuz ayrı rakamlarla, yeni bir usul dahilinde hesap yapabildi.
Ancak; bu dokuz ayrı rakam, bazı sayıları ifade etmeye yeterli gelmiyordu. Çünkü; üç bin yedi yüz elli dört olan bir sayıyı 3754 şeklinde belirtmek mümkündür. Değeri üç yüz sekiz olan bir sayının da, 38 şeklinde meydana çıkmaması için, noksan (boş) kalan onlar basamağına (hanesine) değişik bir işaretlemenin yapılması zorunludur. Noksan (boş) kalan, basamağı (haneyi) işaretleyip, belirtmek için "boşluğu" şekillendirmek, anlamlandırmak zorundaydılar. Noktayı "sunya" veya "sunyabinde" , boşluk veya içi boş yuvarlağı da "kha" kelimesi ile adlandıran Hint alimleri, boş kalan basamağa (haneye), sembol olarak "daire" veya "nokta" şeklinde yeni bir sembol verdiler.
Düşünce tarihin en önemli olaylarından biri sayılan, bu sayı yazısına, son mükemmeliyeti Hintliler'in vermiş olduğu ortaya çıkmaktadır.
O halde, menşe itibariyle, sadece, basamak sistemi içinde, noksan basamağa (haneye) gerekli işaret olarak başvurulan bu sembol, yani bugünkü ifadeyle "sıfır" rakamı, derhal müstakil bir sayı şeklinde, ilk olarak Hint hesabında ortaya çıkmıştır.
Bu sayı işareti, yani "0" (sıfır) veya "." (nokta) anlamındaki işaret, miladın 400. yılında, ilk defa Hint yazılı eserleri içinde görülmeye taşlar. Hint Dünyası'nın, ünlü matematikçi ve astronomu Brahmagupta (598-660) , 632 yılında yazdığı, astronomi konuları ile ilgili Siddhanta adlı eserinde, dokuz ayrı sayı işareti ve sıfır ile birlikte hesap yapmaya dair kaideleri göstermiştir.

TÜRK-İSLAM DÜNYASINDA SIFIR


773 yılında, Kankah isimli Hintli bir astronom, Halife el-Mansur'un (754-775), Bağdat'taki sarayına gelir. Zamanın ünlü İslam alimi İbn'ül Adami, astronomi cetvelleri ile ilgili eserinde, ilim tarihi için önemli olan bu olayı, "İnci Gerdanlık" başlığı altında şöyle açıklar;
"Hicretin 156. (773) yılında, Hintli bir alim elinde bir kitapla, Halife el-Mansur'un huzuruna çıkar. Kardağa'ların Kral Figar adına istinsah ettikleri bir kitabı, Halifeye sunar. El-Mansur, bu eseri, hemen Arapça'ya çevrilmesini ve gezegenlerin hareketleri ile ilgili bir eser yazılmasını emreder... Bu görevi, Muhammed bin İbrahim el-Fezari üzerine alarak 'Astronomlar Nazarında Büyük Sinhind' adlı bir eser yazar. Bu eserin etkinliği, halife el-Memun zamanına kadar sürer. Eseri, Muhammed bin Musa el Harezmi, astronomlar için yeniden hazırlar (yazar). Sinhind Metodunu uygulayan astronomlar, eseri çok beğenirler ve konusunun süratle yaygınlaşmasını sağlarlar."
Hintli alimin, beraberinde Bağdat'a getirdiği ve onunla, önce Halife el-Mansur'un ilgisini çektiği kitap, gerçekte Brahmagupta'nın Siddhanta adlı eserinden başka bir eser değildi. Sinhint adıyla Arapçaya çevrilen bu eser, zamanın halife ve alimleri arasında, hemen ilgi görüp süratle yayıldı.
Harezmi tarafından yeniden hazırlanan söz konusu eser, İngiliz tercüman Baht'lı Adelhard tarafından, zamanın ilim dili olan Latinceye tercüme edildi ve Batılı alimlerin istifadesine sunuldu. Bu tercüme kitap; Hint sayılarını açıklayan, Hint hesabını, sayı yazısını, toplama ve çıkarma, ikiye bölme, iki misli artırma, çoğaltma ve bölme ile kesir hesabını öğreten Hesap Sanatına Dair adlı ikinci eserdir.
Bu Latince tercüme eser, önceleri İspanya'ya gelir ve 12. yüzyıl başlarında, Orta Avrupa'ya geçerek yaygınlaşır.
Hint alimleri, daire şeklinde gösterdikleri ve bugünkü ifadeyle "0" (sıfır) olarak adlandırılan kelime için, bir şeyin hiçliği ve boşluğu anlamını ifade eden "sunya" adını vermişlerdir.
İslam alimleri (Araplar) da bu işareti ve anlamını öğrenince; Arapçada boşluk anlamına gelen "es-sıfır" adını vermişlerdir.
Leonardo, es-sıfır kelimesini Latince'ye tercüme ederek Latince metinlerde cephrum şeklinde Latince'leştirdi.
Daha sonraki yıllarda, Avrupa'nın değişik memleketlerinde, değişik yazım (imla) şekilleri kazanmıştır. Bunlardan :
Leonardo'nun eserine istinaden, önce zefero, daha sonra da zero yazım şeklini aldı ( Livra kelimesinin zamanla lira yazım şeklini alması gibi.)
Fransa'da ise; gizli işaret anlamına gelen chiffre şeklinde adlandırılan cephirum kelimesi, chiffer = hesap yapmak şeklini alarak, yaygınlaşmaya devam etti.
Batı'da, İtalyanca aynı anlama gelen, zero kelimesinin kabülü sonucu, bu kelimenin iki ayrı anlamı sebebiyle İngiltere'de cipher ve zero şeklini aldı.
Almanya'da da, ziffer yazım şeklini aldı. 14. yüzyıldan sonraki yıllarda da ziffern yazım şeklinde kullanılmaya başlandı.
Saverus Sabokht, Brahmagupta ve Harezmi isimleri, Arap rakamlarının, Batı'da görülmesinde birbirini takip eden üç isim olarak karşımıza çıkmaktadır.
Batı literatüründe "Arap Rakamları" olarak bilinen, İslam Dünyası rakamlarının, sıfır "0" dahil olmak üzere, on ayrı şeklini Batı'ya ilk defa öğreten, papalık tahtının şair ve matematikçisi Gerbert olmuştur. Gerbert'in etkisi tam sekiz yüz yıl devam etmiştir.
Gerbert, öğrenimini Aurlillac Klisesinde tamamlamıştır. Burada edindiği bilgiler sonucu, birçok matematikçinin dikkatini çekti. Sonuçta da, matematik araştırmalarını hızlandırdı. İstinsah faaliyetlerini çoğalttı. Gerbert, hakkında değişik rivayetler vardır. Bu rivayetler hakkında, geniş bilgi, müsteşrik Sigrid Hunke tarafından hazırlanan İslam'ın Güneşi Avrupa'nın üzerinde eserde bulunmaktadır. Bu rivayetlerden birisi şudur :
Gerbert, sıfır kavramını bilmiyordu. Mesela 1002 sayısında sıfır 0lmayınca, yazılanların anlaşılması mümkün değildi. Gerbert ve öğrencileri, sıfır hakkında, herhangi bir bilgiye sahip olmadıklarından, yapılanların manasını kavrayamadıkları anlaşılmakta. Gerbert, sayı yazısını, Batı Arapları'ndan getirir. Araplardan, İspanya seyahati sırasında öğrendiği sanılmaktadır.
Gençliğinde itibaren, Hindistan'ın bir ucundan öbür ucuna yaptığı bir çok seyahatlerle, Hint dilini ve ilmini tam anlamıyla Öğrenen Gertert'in çağdaşı olan Beyruni'den o sıralarda, Hindistan'da yazılmış harf şekillerinin ve ilk rakam şekillerinin diğer memlekete geçince, değiştiğini öğreniyoruz, Beyrurıi, Araplar'ın, Hintliler'den en elverişli rakamları aldıklarını açıklar. Araplann birbirinden farklılık gösteren iki çeşit , Hint sayı yazısını kullandıklarını, Harezmi de açıklar.
Harezmi tarafından, 830 yılında yazılan eserin ilk kopyaları, Viyana Saray Kütüphanesinde bulunmaktadır. Bu elyazmaları (manüskri), 1143 tarihini taşımaktadır. Salen Manastırı'nda bulunan ikinci bir kopya ise, bugün Heilderburg'ta muhafaza edilmektedir.
Avrupa, ilim dünyasında sunulan bu önemli belge ile, Araplar'ın, önce birler basamağından başlayarak, rakamları sağdan sola doğru yazıp okuduklarını, bu eserden öğrenir. Harezmi'ye ait bu eserde; toplama ve çıkarma işlemlerine ait örnekler görülmektedir.
Latince tercümesinde, bugünkü yazım şekline göre, "0" (sıfır) a ait bir örnek Şöyledir :
38-18=20

"Sekiz diğer sekizden çıkınca, geriye bir şey kalmaz. Bu takdirde, boş kalmaması için, bir dairecik koy. Dairecik, boş hanenin yerine geçmek zorundadır. Eğer bu hane boş kalırsa, diğer haneleri de tahdit edilmiş olurlar. Artık ikinci hane, birinci hanenin yerini tutar. Yani; ikinci hane, birinci haneden başka bir şey değildir."
Bugünkü bilgilerimize göre basit gibi görünen, ancak zamanın matematik görüşü olarak son derece önemli olan bu açıklamanın böyle olması düşünüldüğünde, Harezmi'nin görüşü olan açıklamanın önemi kendiliğinden ortaya çıkar. Şöyle ki; sıfır, ilk basamağın aksine, sola konsaydı, "02" gibi bir sayı elde edilir ki, ikinin solundaki sıfır sonucu değiştirdiğinden, Harezmi'nin matematik görüşünün zamanı matematik bilgileri karşısındaki önemi açık olarak ortaya çıkar.
Brahmagupta'nın ,Siddahta adlı eseri, 776 yılında, Saverus'tan 114 yıl sonra, Arapça'ya çevrilen bir eserinin içinde yer almıştır. Gerbert'ten yüz yıl sonra, Harezmi'nin Latince tercümesi, Orta İspanya yoluyla Batı'ya ulaşır.
Bu tarihlerde, "Arap Sayı Yazısının", ilim dünyasındaki zaferine çığır açan başka bir şahıs ile karşılaşıyoruz.
Pizza'lı Leonardo (1180~ ?) ; matematik bilgisinin, esaslarını bizzat, ilk kaynaklarından, yani Mısır'a yaptığı uzun süreli seyahatler sonucu elde etmiştir. Elde ettiği bilgileri de, Batı'ya öğretmiştir. Leonardo'nun babası, Cezayir sahillerinde ticaret işleri ile meşgul idi. İslam medeniyetinin etkinliğini gören, baba Leonardo, oğlunu yetiştirmek için yanına çağırır. Oğlu Leonardo Hint, yani Arap (İslam) rakamları ile hesap yapmaya hayran kalır. Hint hesap sistemlerinin, her türlü uygulamasını öğrenir. Bu arada, İskenderiye ve Şam kütüphanelerinde, eline geçirebildiği ilmi değeri olan eserleri de toplayıp, Avrupa'ya götürdüğü tarihi bir gerçek olarak bilinmektedir.
Oğul Leonardo, İslam (Arap) hesap öğretmenlerinden, öğrendiği bütün bilgileri sıfır rakamı dahil olmak üzere, çevresindekilere, uygulamaları ile birlikte öğretir. Oğul Leonardo'nun bu öğretisi sırasında konu ettiği rakamlar, bugünkü gösterim şekliyle şöyledir;


Bu rakamlar, Arapçada "sıfır" adı verilen "." işareti ile her türlü hesabın yapılabildiğini açıklar.
Matematikte; bugün Türkçe'mizde gösterim şekli olan, "0" (sıfır), Arapça'da gösterim şekli olan "." (sıfır) sembolü ile, Türkçe yazım §ekli olan "sıfırı" ve aynı anlama gelen, diğer Batı dillerinde kullanılan ve "rakam" ve "yazım" şekillerinin tarihi gelişimleri, ayrıntılı olarak incelemeye değer bir konudur.

SIFIRIN TARİHİ KRONOLOJİSİ

M.Ö. 3000 yılları : Eski Mısırlılar, onluk sistemi bilmediklerinden, sıfır anlamını ifade eden bir sembol (işaret) kullanmamışlardır.
M.Ö. 700-500 yılları : Mezopotamyalılar, sadece astronomi metinlerinde, sıfır anlamına gelecek, özel bir işareti sürekli olarak kullanmışlardır.
M.S. 2. yüzyıl : Eski Yunan'da, Batlamyos'un astronomi metinlerinde, Yunan alfabesinde görülen, içi boş anlamını ifade eden "0" şeklinde bir harf kullanmışlardır. Ancak, matematiklerinde, bu harfi (işareti) kullanmadıklarını, kaynaklar açık olarak belirtmektedir.
M.S. 400 yılları : Eski Hint Dünyasında, ilk defa, bugünkü ifadeyle sıfır anlamına gelen, "0" ve "." şeklinde işaret (sembol) görülmeye başlamıştır.
M.S. 632 : Eski Hint alimi Brahmagupta'nın astronomi ile ilgili olan Siddhanta adlı eserinde, dokuz ayrı ve sıfır rakamı ile hesap yapmayı gösteren kaideler belirtilmiştir.
M.S. 830 : İslam Dünyasının önde gelen matematik alimi Harezmi tarafından, dokuz ayrı rakam dahil sıfır rakamı ile birlikte aritmetik işlemlerin nasıl yapılacağı açık olarak gösterilmiştir.
M.S. 1100 yılları : Avrupa matematik dünyasında, yaygın olarak kullanılmaya başlar.

5137
MATEMATİK / TÜME VARIM
« : 04/07/11, 09:01 »
TÜME VARIM

Bu bölümde önce,kısaca tümevarım yöntemini, sonrada ÖYS’de karşılamakta olduğumuz å sembolünü ve Õ sembolünü ele alacağız.

TÜME VARIM YÖNTEMİ
Tümevarım yöntemini ifade etmeden önce, önerme ve doğruluk kümesi kavramlarını açıklayalım.

1.Önerme
Doğru ya da yanlış kesin hükümlere önerme denir. İçinde bir değişken bulunan önermelere de açık önerme denir.

ÖRNEK :
“5 bir asal sayıdır” ifadesi doğru bir önermedir.
“10 – 2 . 3 = 0” ifadesi yanlış bir önermedir.
“2n > 2n” ifadesi açık bir önermedir.

2.Doğruluk Kümesi
Bir açık önermeyi doğrulayan değerlerin oluşturduğu kümeye doğruluk kümesi denir.

ÖRNEK :
Sayma sayıları kümesi, N+ = {1,2,3, ...} dir. n bir sayma sayısı olmak üzere, P(n): 2n < 2n + 10 açık önermesinin doruluk kümesini bulunuz.
ÇÖZÜM :
n = 1 için P(1) : 21 < 2 . 1 + 10 (doğru)
n = 2 için P(2) : 22 < 2 . 2 + 10 (doğru)
n = 3 için P(3) : 23 < 2 . 3 + 10 (doğru)
n = 4 için P(4) : 24 < 2 . 4 + 10 (doğru)
n = 5 için P(5) : 25 < 2 . 5 + 10 (yanlış)
n = 6 için P(6) : 26 < 2 . 6 + 10 (yanlış)
Görüldüğü gibi; P(1), P(2), P(3), P(4) önermeleri doğrudur. Buna göre, doğruluk kümesi D = {1,2,3,4}’tür.

3.Tümevarım Prensibi
Tümevarım prensibi, doğal sayılarla ilgili açık önermelerin doğruluğunu göstermeye yarayan bir ispat metodudur.
n Î N olmak üzere P(n) bir açık önerme ve a Î N ve Na = {a, a + 1, a + 2, ...} olsun.
P(n) önermesi Na kümesinin en küçük elemanı olan n = a için doğrudur. (Yani, P(a) dorudur.)
k ³ a olmak üzere P(n) önermesinin n = k için doğru olduğu (P(k) doğru olsun.) kabul edildiğinde n = k + 1 için doğru olduğu (P(k + 1) doğru) oluyorsa P(n) önermesi Na kümesinin her elemanı için doğrudur.
ÖRNEK :
P(n) : 12 + 22 + 32 + ... + n2 = n.(n+1).(2n+1) önermesinin doğruluğunu ispat ediniz.
6
ÇÖZÜM :
n = 1 için P(1) : 12 = 1.(1+1).(2.1+1) 1 = 1 ise P(1) doğrudur.
6
n =k için P(k) = 12 + 22 + 32 + ... + k2 = 1.(k+1).(2k+1) önermesinin doğru olduğunu kabul edelim. 6
n = k + 1 için
P(k+1) = 12 + 22 + 32 + ... + k2 + (k+1)2 = (k+1).(k+2).(2k+3) olduğunu gösterelim.
6
12 + 22 + 32 + ... + k2 + (k+1)2 = k.(k+1).(2k+1) + (k+1)2 Paydaları eşitleyip, gerekli işlemleri
6
yaparsak sonucun (k+1).(k+2).(2k+3) olduğunu göreceğiz. Demek ki P(k+1) doğrudur.
6
Böylece önerme ispatlanmış olur. O halde bütün doğal sayılar için,

12 + 22 + 32 + ... + n2 = n.(n+1).(2n+1)’dir.
6
TOPLAM SEMBOLÜ

4.Tanım
k bir tam sayı, f : |N |R ye bir fonksiyon olmak şartıyla f(k) = ak olsun. k’ya 1,2,3, ..., n değerlerinin verilmesiyle elde edilen a1, a2, a3, ..., an terimlerinin toplamı, toplam sembolüyle kısaca (å) kısaca,
şeklinde gösterilir.


ÖRNEK :
= 20 + 21 + 22 + 23 + 24 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31

5.Önemli bazı formüller
= 1+2+3+...+n=n.(n+1)
2
= 1+3+5+...+(2n – 1) = n2
= 12+22+32+...+n2 = n.(n+1).(n+2)
6
= 13+23+33+...+n3 = [n.(n+1)/2]2
= 1.2+2.3+3.4+...+n(n+1) = n(n+1).(n+2)
3
= 1 + 1 + 1 +...+ 1 = n .
1.2 2.3 3.4 n.(n+1) n+1
= 1+r+r2+r3+...+rn – 1= 1 – r n
1 – r
Bu formüllerin doğruluğu tümevarım yöntemiyle gösterilebilir.

Çarpım Sembolü

6.Tanım
k bir tamolmak şartıyla f(k) = ak olsun.
k’ya 1,2,3, ... , n değerlerinin verilmesiyle elde edilen a1 a2 a3 ... an terimlerinin çarpımı, çarpım sembolüyle (Õ) kısaca,
= a1.a2.a3...an

şeklinde gösterilir.

ÖRNEK :
= 92+.102 = 81.100 = 8100
7.Önemli Bazı Çarpım Formülleri
= 1.2.3.4...n = n!
= r1.r2.r3...rn = r1+2+3+...+n

5138
MATEMATİK / Trigonometri nedir?
« : 04/07/11, 09:00 »
Trigonometri nedir?

Eski Hintlilerde Trigonometri

İçinde bulunduğumuz yüzyılın bilimsel araştırmaları, Hint Dünyasının, özellikle 6., 7., 9. ve 12. yüzyıllarda matematik ve astronomide bilimsel bakımdan üstün düzeyde ilginç çalışmaların varlığını ortaya çıkarmıştır. Eserleriyle adları zamanımıza kadar gelebilen Hint bilginleri, bilim tarihinde kendilerini etkin bir biçimde göstermektedirler. Bunlardan; belirttiğimiz yüzyıllar içinde yaşamış olan, Hint matematikçilerinden; Brahmagupta (598 -660), Aryahatha (6. yüzyil), Mahavira (9. yüzyil) ve Bhaskara'nın (1114-1158) adlarını belirtebiliriz.

Kaynaklar; Hintli matematikçilerin, özellikle trigonometri konusundaki bilgileri, müspet şekilde zenginleştirmiş olduklarını ve Mezopotamya temelli bilgileri, zamanın bilim dili olan Sanskritçe ve Pevlevice'den yapılan tercümeler yoluyla, 8. yüzyıl ortalarından itibaren İslam Dünyasına intikal etmiş olduğunu belirtir.


Eski Mısırlılarda Trigonometri

İnceleyebildiğimiz kaynaklar; Mısır matematiğinde seked ve sek kelimelerinin, bir açının kotanjantına denk anlam ifade etmesinden hareket ederek, trigonometrinin, başlangıcını eski Mısırlılara kadar götürmenin gerektiğini belirtir. bu konuda Aydın Sayılı "Mısırlılar'da ve Mezopotamyalılar'da Matematik, Astronomi ve Tıp" adlı eserinde şunları yazar: Mısır'da seked dışında, bu konuda herhangi bir gelişmeye şahit olmuyoruz. Seked'e benzeyen ya da onunla aynı olan bir kavramla "Mezopotamya Matematiğinde" de karşılaşılmakta olduğu ve trigonometrinin başlangıcını Mısırlılara götürmek isabetli düşünce sayılmaz. "Mısır Geometrisinin", "Doğru Geometrisi" olarak vasıf taşıdığını belirterek, müşterik Gandz'a atfen de Mısır'da "Açı Geometrisinin" mevcut olmadığını belirtir.


Eski Yunan'da Trigonometri

Trigonometri'de: "Herhangi bir ügende, dik kenarların kareleri toplamı, hipotenüsün karesine eşittir" şeklinde temel bir teorem vardır. Bu teoremin adı Pisagor teoremi olarak bilinir. Gerçekte; bu teoremin varlığı, Pisagor'dan ortalama 2000 yıl kadar önceleri, Eski Mısır ile Mezopotamyalılar tarafından Babil çağında bilinmekte idi. Mezopotamyalılar, bu teoremin, hem özel hem de genel şeklini biliyorlardı. Bilim tarihi eserleri; Thales'in, Pisagor ve Öklid'in, eski Mısır ve Babil yörelerini uzun yıllar dolaşmış olduklarını belirttikleri gibi, bu bilginlerin temel matematik bilgilerini, Mısır ve Babil'den elde etmiş olduklarını belirtir.


Mezopotamya'da Trigonometri

İnceleyebildiğimiz kaynaklar; Mezopotamyalılar'da, temelinde geometri bulunan, bugünkü trigonometri cetvellerinin ilkel bir örneğiyle karşılaşılmakta olduğunu, ve Hipparchos'un trigonometri çalışmalarının, ilkel başlangıcının "Mezopotamya Matematiğine" kadar geri gitmesinin mümkün sayılabilececğini belirtmektedir. Aydın Sayılı, yukarda adı geçen eserinde bu konuda geniş bilgi verdikten sonra, "Trigonometri tarihinin, Embriyolojik Menşeinin Mezopotamyalılar'a kadar geri gittiğini ve Mezopotamyalılar'dan, Hipparchos'un bu yönden etkilenmiş olduklarını ileri sürebilir" der.


Trigonometrinin Avrupa'da Görülmesi

8. ile 15.yüzyıl Türk - İslam Dünyası matematik ve astronomi bilginlerinin hazırladıkları eserlerin hepsinde, bugünkü trigonometrinin temel bilgileri vardı. Bu durumda; bu devir Türk - İslam Dünyası'nın ünlü matematik ve astronomi bilginlerinden, Sabit bin Kurra, Beyruni, Ebu'l Vefa, Ali Kuşçu ile çağdaşlarına ait ilgili eserlerin asılları ya da tercümeleri, Johann Müller ve çağdaşları ile kendisinden önce ve sonra gelen Avrupalı matematikçilerin gözlerinden kaçmış olması düşünülemez.

Johann Müller 8. ile 15. yüzyıl Doğu bilim dünyasının ünlü yazma eserleri ile zengin bir kataloga sahip olan başta Vatikan ile diğer Avrupa kütüphanelerinden elde ettikleri, doğu bilim dünyasından intikal etmiş matematik ve astronomi ile ilgili eserlerin bir kısmını incelemiş ve zamanının bilim dili olan Latince'ye çevirmişlerdir. Bu çalışmaların sonunda De Triangulis Amnimodis Libri V. adlı bir kitap yayınlamışlardır. Bu kitap, yukarda sözünü ettiğimiz düzlem ve küresel trigonometri konularını kapsayan Latince bir eserdir. Johann Müller'in bu eseri de, ölümünden 57 yıl sonra, yani 1533 yılında Nurnberg'te yayınlanmıştırBu durumda, Johann Müller'in, El-Battani'den taklid edilmiş denilen eser, kendisinin ölümünden sonra gelen çağdaşları bile, 57 yıl anlamakta güçlük çekmiş oldukları anlaşılmaktadır. El-Battani ve Ebu'l Vefa'dan 500 yıl kadar sonra, trigonometri ile ilgili bilgiler; Avrupa'da, Johann Müller ve çağdaşlarının eserleri ile 1533 yılından itibaren görülmeye ve yaygınlaşmaya başladığı açık olarak ortaya çıkmaktadır.


Türk-İslam Dünyasında Trigonometri

İçinde bulunduğumuz yüzyılda yapılan bilimsel araştırmalar göstermiştir ki; trigonometriye ait temel bilgiler, 8. ile 16. yüzyıl Türk - İslam Dünyası matematikçileri tarafından ortaya konulmuş ve belli bir noktaya kadar da geliştirilmiştir. Bunun nedenini, şu şekilde açıklamak mümkündür. Bilindiği gibi, 8. ile 16. yüzyılda Türk - İslam Dünyası'nın hemen her yöresinde astronomi (gökbilim) çalışmaları ve bunun sonucu olarak da, yoğun bir rasathane (gözlemevi) kurma çalışmaları vardı. Bu rasathanelerdeki bilimsel çalışmalarda, astronomiye yardımcı olarak, trigonometri kullanılmaktaydı.

Astronominin temelini teşkil eden küresel astronomi, doğrudan doğruya, küresel trigonometrinin astronomiye uygulanmasından doğmuştur. Gezegen ve uydu ile yıldızların gökküresindeki yerleri (koordinatları) ve hareketleri ile ilgili hesaplamalar; küresel üçgenin, küresel trigonometriye uygulanmasıyla elde edilebilmektedir. Dolayısıyla, o devir Türk - İslam Dünyası'nda, Trigonometri müstakil bir bilim haline gelmiş ve oldukça gelişmiştir.

8. ile 16. yüzyıl Türk-İslam Dünyası matematik ve astronomi bilginlerinin hazırlamış oldukları "Ziyc" adlı eserin hepsinde, bugünkü trigonometrinin temel bilgileri, ilk olarak ortaya konulmuştur. Gene bu devir Türk - İslam Dünyası bilginleri, Batlamyos'un (Claidius ptolemeios 85-160) ünlü eseri, değişik tarihlerde değişik matematik ve astronomi bilginleri tarafından mıcıstı (almagesti) adıyla şerh edilmiştir. Bu şerhlerde de, yer yer trigonometri bilgileri zenginleştirilip geliştirildi.

Gıyasüddin Cemşid ve Trigonometri

Gıyasüddin Cemşid, 1 derecelik yayın sinüs değerini, bugünkü değerlere göre 18 ondalıklı sayıya kadar doğru olarak hesaplamıştır. Bu konuda 1 derecelik yayın sinüsüsünü geometri ve cebir yoluyla hesaplamış ve böylece trigonometrik tabloların tanzim işini sistemle bir esasa bağlamıştır. Dolayısıyla kendisinden sonra gelen İslam Dünyası ie Batı Dünyası matematikçilerine, zamanında orjinal olan yeni bilgi hazineleri bırakmıştır.

5139
MATEMATİK / MUTLAK DEĞER ÖZELLİKLLERİ
« : 04/07/11, 08:59 »
MUTLAK DEĞER ÖZELLİKLLERİ
VE
İŞLEVLERİ



Tanım:Sayı doğrusu üzerinde x sayısının sıfıra olan uzaklığına x in mutlak değeri denir ve │x│ ile gösterilir.



x , R nin elemanıdır ve
│x│ ={x, x > 0 ise
{-x,x < 0 ise
şeklinde tanımlanır.
│f(x)│ ={f(x),f(x) > 0 ise
{-f(x),f(x)< 0 ise
Örnek:=
Örnek:=
Örnek:=
Örnek: x =-3 için │x-5│ - │x+2│ ifadesinin eşiti kaçtır?

Çözüm: │-3-5│ - │-3+2 │ = 8-1=7

Örnek: a<b<0olduğuna göre,
│a+b│ - │a-b │ ifadesinin eşiti nedir?

Çözüm: │a+b│ - │a-b│ = -(a+b) -[ -(a-b) ]
=-a-b+a-b
=-2b
Örnek: x<0<y olmak üzere
ifadesini sadeleştirin

ÖZELLİKLERİ

a,b elemandır R için
1) │a│≥ 0 dır
2) │a │ = │ -a│
3) - │ a│≤a ≤│a│
4) │a.b│ = │a│.│b │
5) b≠ 0 için │a/b │= │a│ / │b │
6) │IaI-IbI│≤│a+b│ < │a│ + │b │ (üçgen eşitsizliği)
7) n elemanıdır Z+ olmak üzere │an │ = │a│n
8) a> 0,x elemanıdır R ve │x│< a ise -a <x <a
9) a>0,x elemanıdır R,│x│≥ a ise x≥ a veya x ≤ -a dır.
10)I-aI=IaI, Ia-bI=Ib-aI
11)I f(x) I = a ise f(x )= a veya f(x) = -a
12)I f(x) I < a ise -a< f(x) < a
13)I f(x) I > a ise f(x) > a U -f(x) > a

İSPATLAR

Öz.1)a = 0 ise IaI = I0I = 0
a > 0 ise IaI = a >0
a < 0 ise IaI = -a >0 dır.
O halde IaI > 0 dır.
Öz.2)a ve -a sayılarının 0 dan uzaklıkları eşit olduğundan IaI=I-aI dır.
Öz.6) a elemanıdır R için -IaI ≤ a ≤ IaI
b elemanıdır R için -IbI ≤ b≤ IbI
+
-IaI-IbI≤a+b≤IaI+IbI
O halde Ia+bI < IaI+IbI dir.
Öz.7) a,b elemanıdır R için Ia.bI=IaI.IbI idi.
Ia nI=Ia.a.a...aI=IaI.IaI.IaI...IaI=IaIn dir.
(n tane) ( n tane )
Öz.3)a sayısı için a<0,a=0,a>0 durumlarından biri vardır.
a)a < 0 ise IaI = -a dır.
IaI > 0 olduğundan -IaI < 0 dır.
-IaI= a <0 < IaI ise -IaI < a < IaI dır.
b)a=0 ise IaI = I0I = 0 ve -Ia I= 0 olacağından –IaI < a < IaI dır.
c)a > 0 ise IaI = a ve -IaI < 0 dır.
-IaI≤ 0≤ IaI = a ise -IaI < a < IaI dır.

Örnek:x,y R olmak üzere
A=ifadesinin alabileceği minumum değeri bulunuz.
Örnek:a<b<0<c olmak üzere
ifadesini en sade biçimde yazınız.

MUTLAK DEĞERLİ DENKLEMLER
Soru: I3x-7I = 5 denklemini çözünüz.
Çözüm:I3x-7I = 5 ise; 3x-7 = 5 veya 3x-7 = -5 olur.
1- 3x-7 = 5 2- 3x-7=-5
3x = 12 3x = 2
x = 4 x = 2/3
Ç={4,2/3}
Soru:Ix-7I = 7-x eşitliğini sağlayan kaç tane doğal sayı vardır?
Çözüm: Ix-7I = 7-x ise
x-7 < 0 ise x < 7olup x doğal sayıları 0,1,2,3,4,5,6,7 dir.
O halde 8 tane doğal sayı vardır.
Soru: = 2 denkleminin çözüm kümesi nedir ?


Çözüm: = 2



5-2x/3=2 veya 5-2x/3= -2
5-2x = 6 veya 5-2x = -6
x = -1/2 veya x = 11/2
Ç ={-1/2,11/2}
Soru:I 4+I2x-3I I = 5 denklemini sağlayan x reel sayılarının toplamı nedir?
Çözüm: I 4+I2x-3I I = 5


4+I2x-3I = 5 veya 4+I2x-3I = -5
I2x-3I = 1 veya I2x-3I = -9

2x-3 = 1 veya 2x-3 = -1 Çözüm:O

x = 2 x = 1



O halde x+x = 2+1 = 3 olur.
Uyarı:Hiçbir reel sayının mutlak değeri negatif olamayacağından, denklemin çözüm kümesi boş küme () olur.

MUTLAK DEĞERLİ EŞİTSİZLİKLER


Soru: Ix-7I < 3 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.

Çözüm: Ix-7I < 3 = -3 < x-7 < 3 = -3+7 < x < 3+7
=4<x<10 Ç={5,6,7,8,9}
Soru:I 3x+2 I+9 > 2 eşitsizliğini çözünüz.
Çözüm:I 3x+2I+9 > 2 = I 3x+2I > -7
***Bu eşitsizlik x in her değeri için sağlanır.Bu nedenle; Çözüm kümesi R dir.


Soru: I Ix-5I-2 I < 3 eşitsizliğini sağlayan kaç tane tamsayı vardır?
Çözüm:I Ix-5I-2 I < 3 = -3 < Ix-5I -2 < 3
= -1 < Ix-5I < 5
Ix-5I >-1 eşitsizliği daima doğrudur.
Ix-5I < 5 = -5 < x-5 < 5
= 0 < x < 10
Bu aradaki tamsayılar 1,2,3,4,5,6,7,8,9 olup 9 tamsayı vardır.




Soru: I 2x-7 I < 2 eşitsizliğini sağlayan kaç tane tamsayı vardır?

Çözüm:I 2x-7 I < 2 = -2 < 2x-7 < 2
= -2+7 < 2x < 2+7
= 5 < 2x < 9
= 5/2 < x < 9/2
Bu durumda çözüm kümesi {3,4} olur.
Soru: I 3x+1 I > -8 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm: x elemanıdır R için I 3x+1 I > 0 olduğundan
I 3x+1 I > -8 eşitsizliği daima doğrudur. Buna göre denklemin çözüm kümesi Reel sayılar kümesidir.

Soru: I 3-3x I < 9 eşitsizliğinin R deki çözüm kümesi nedir?

a) 0<x<2 b) -2<x<4 c) -1<x<0 d) 0<x<2 e) 2<x<4
Çözüm: I 3-3x I<9 = -9 < 3-3x < 9
= -9+3 < 3x < 9+3
= -6 < 3x < 12
= -6/3 < x < 12/3
= -2 < x < 4 ( Cevap B dir.)
Soru: 1 < Ix-2I < 3 eşitsizliğini sağlayan kaç tane tamsayı vardır?
Çözüm: 1 < Ix-2I < 3 = 1 < x-2 < 3
= 1+2 < x < 3+2
= 3 < x < 5
Eşitsizliği oluşturan tamsayılar = {3,4,5} tir.

MUTLAK DEĞER İLE İLGİLİ KARIŞIK
ALIŞTIRMALAR

Soru 3: |x|  2 => -2<x<2 dir.
Soru 4: |x|  2 => x > 2 veya x < -2 dir.
Soru 5: |x-1| = 3 => x-1=3 veya x - 1 = -3
x = 4 veya x = -2 dir.
Soru 6: a<b<0<c olmak üzere;
a +c + b-c+c - a
= -a + c - (b - c) + c – a
= -a + c-b + c + c- a
= 3c - 2a - b dir.
Soru 7:x-5= 3 => x - 5 = 3 veya x -5 = -3 tür.
x = 8 veya x = 2
x = 8 veya x =- 8 veya
x = 2 veya x =- 2 dir.
Ç.K. = {-8, -2, 2, 8} dir.
Soru 8: ||x-l| + 4| = 6=>x-1 + 4 = 6 veya
x-1 + 4 = -6 lx-1l = 2 veya lx-1l = -10 olur.
x-1 = - 10 olamayacağından kök yoktur.
x-1 = 2 ise x - 1 = 2 veya x - 1 = -2 x = 3 veya x = -1 dir.
Ç.K = {-1,3}

Soru 9: I 3x-1 I+5 = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözüm: I 3x-1 I+5 = 0 ise I 3x-1 I = -5 olur.
*** a elemanıdır R için IaI > 0 dır.
Bu nedenle sorunun çözüm kümesi O dir.
Soru 10: I Ix-4I -5 I = 10 denklemini sağlayan x değerlerini bulunuz.
Çözüm: I Ix-4I –5 I = 10

Ix-4I-5 =10 veya Ix-4I-5 = -10
Ix-4I = 5 veya Ix-4I = -5
Ç = {O}
x-4 = 15 veya x-4 = -15 x = 19 veya x = -14





Soru11: I Ix-1I+5 I = 8 denkleminin kökleri toplamı kaçtır?
a) -2 b) 0 c) 2 d) 4 e)14




Çözüm: I Ix-1I+5 I = 8

I Ix-1I+5 I = 8 veya I Ix-1I+5 = -8
Ix-1I = 3 veya Ix-1I = -13
Ç = {O}
x-1 = 3 veya x-1 = -3
x = 4 veya x = -2
x+x = 4+(-2) = 2 ( Cevap C dir.)
Soru 12: I Ix-2I-3 I = 7 denkleminin kökleri toplamı kaçtır?
a) 2 b) 4 c) 8 d) 10 e) 12



Çözüm: I Ix-2I-3 I = 7

Ix-2I-3 = 7 veya Ix-2I-3 = -7
Ix-2I = 10 veya Ix-2I = -4
Ç = {O}
x-2 = 10 veya x-2 = -10
x = 12 veya x = -8
x+x = 12-(-8) = 4 ( Cevap B dir.)
Soru 13: I 7-(3-I-5I) I işleminin sonucu nedir?
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 9
Çözüm:
I 7-(3-I-5I) I = I 7-[3- -(-5)] I

= I 7-[3-5] I
= I 7-(-2) I
= I 7+2 I
= I 9 I = 9
Soru 14: I Ix-2I-5 I = 1 denklemini sağlayan x tam sayıları nelerdir?
a) 3,6,-3,-6 b) 4,8,-3,-8 c) 7,9,5 d) 8,-4,6,-2 e) 2,-2
Çözüm: I Ix-2I-5 I


Ix-2I-5 = 1 veya Ix-2I-5 = -1
Ix-2I = 6 veya Ix-2I = 4
x-2 = 6 veya x-2 = -6 x-2 = 4 veya x-2 = -4
x = 8 x = -4 x = 6 x = -2


Soru 15: Ix+2I < 4 eşitsizliğini sağlayan kaç tane tamsayı vardır?
a) 13 b) 9 c) 8 d) 7 e) 6 (ÖSS 1999)
Çözüm:
Ix+2I < 4 = -4 < x + 2 <4
= -6 < x < 2
Eşitsizliği oluşturan tamsayılar –6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2 dir. ( Cevap A dır.)

Soru 16: IxI < 6 olduğuna göre,x-2y+2 = 0 koşulunu sağlayan kaç tane y tamsayısı vardır?
a) 7 b) 6 c) 5 d) 4 e) 3 (ÖSS 2000)
Çözüm:
IxI 0 dan küçük olmayacağından IxI 0,1,2,3,4,5,6 olabilir.
x-2y+2 = 0 koşulunu çift sayılar oluşturur.Bunlar 0,2,4,6 dır.Bu sayılar y yi tamsayı yapar. ( Cevap D dir.)
Soru 17:
f(x) = 12 fonksiyonunun en büyük değeri
Ix-1I+Ix+3I

nedir?
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
Çözüm:
x elemanıdır [-3,1] için f(x) en büyük olur. X = -3 ise,

f(-3) = 12 = 12/4 =3 tür.
I-3-1I+I-3+3I
( Cevap B dir.)

Soru 18:x-1 6 olduğuna göre, x - 2y + 2 = O koşulunu sağlayan kaç tane y tamsayısı vardır?
A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 3 (2000-ÖSS)
ÇÖZÜM
x-2y + 2 = 0 => x = 2y- 2 dir.
x < 6 => 2y - 2 6 => -6  2y - 2 < 6 dır.
Buradan, -4 < 2y < 8 => -2 < y < 4 bulunur.
Bu koşulu sağlayan y tamsayıları -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 olup 7 tanedir.
Cevap: A'dır.
Soru 19:x+24 eşitsizliğini sağlayan kaç tane tamsayı vardır?
A) 13 B) 9 C) 8 D) 7 E) 6 (1999-ÖSS)
ÇÖZÜM
x+24 ise < 4 ise -4 < x + 2 < 4
-4-2<x+2-2<4-2
-6 < x < 2
x = -6, -5, -4, -3, -2, -1, O, 1, 2 olup 9 tane tamsayı değeri vardır.
Cevap: B'dir.


Soru 20: x < 0 olmak üzere x-|x-8| - 8 ifadesi aşağı*dakilerden hangisine eşittir?
A)16 B)-2x C)-4x D)-2x+16 E)-4x+16 (1999-ÖSS)
ÇÖZÜM
x-|x-8| - 8 = ?
x-8| = -(x-8) = -x+8
(-)
= x-(-x+8) - 8 |2x-8|-8
(-)
= - (2x - 8) - 8 = -2x + 8 - 8 = -2x
Cevap: B'dir.

Soru22: |x-4| + |x| = 8 denklemini sağlayan x değerle*rinin toplamı kaçtır?
A) 2 B) 4 C) 5 D) 6 E) 10 (2001-ÖSS)
ÇÖZÜM
Mutlak değerin içini 0 yapan değerler x = 4 ve x = 0 dır. x < 0 için, -x + 4-x = 8 olur.
-2x = 4 => x = - 2 dir.
0 < x < 4 için, -x + 4 + x = 8 olur.
4 = 8 olduğundan bu aralıkta sağlayan x değeri yoktur. x > 4 için, x - 4 + x = 8 olur.
2x = 12 => x = 6 dır.
x değerleri toplamı -2 + 6 = 4 olur.
Cevap: B'dir.
Soru 23: x < 0 < y olduğuna göre
3. |x-y|
|y+|x| |
y+ işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A)-3x B)-3y C) 3 (x + y) D) - 3 E) 3 (1995-ÖSS)
ÇÖZÜM
3 |x - y| ifadesinde (x - y) < 0 olduğundan
3 |x - y| = - 3 (x - y) olur.
Benzer şekilde x<0 => |x| = - x olur.
| y + |x| | = |y-x| = y-x
+
3(x-y) = -3(x-y) =3
y-x -(x-y)
Cevap: E'dir.
Alıştırmalar
1. x, y, z negatif tamsayılar olmak üzere,
ise
| z - y| + | x + z| + | y - x| ifadesi neye eşittir?
A) 2x-2y B) 2z-2x C)0 D) -2x E) 2y
2. 3 katının 4 fazlası kendisinin karesinden büyük olan en küçük tamsayı kaçtır?
A)-1 B) 0 C)1 D) 2 E) 3
3. a < b < 0 < c koşulu ile aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?
A) a2 < ab B) c - a - b > 0 D) a.b > c E)f<0

5140
MATEMATİK / Antik Çağ Matematikçileri
« : 04/07/11, 08:58 »
Yaklaşık M.Ö. 600 ile M.S. 400 arasında tarihlenebilecek Antik Yunan Uygarlığı’nın (bilimde, felsefede, sanatta, politikada) birdenbire tüm haşmetiyle ortaya çıkışı, nasıl açıklanabilir?
“ İlk bilim adamı ve mühendis Thalees’tir” soyut düşüncesinin görünümü olan felsefe ve matematik, ayrı disiplinler olarak Antik Yunan’la başlamıştır; Thales, Pisagor, Zeno, Archimides ve Euclides ilk matematikçilerdir.

Antikçağ Yunan biginlerine atfedilen matematikbilgilerinin çoğu Mezopotamya ve Mısır döneminde bilindiği anlaşılmıştır. Ancak Antik çağ öncesi Mezopotamya ve Mısır’da ortaya çıkan bazı olgular ise soyut düşüncenin örnekleri olarak görülmez. Uygulamaya dayalıdır. Onlar pratik kaygılarla hareket eden insanların önlerindeki sorunları çözmek için geliştirdikleri bazı yöntemlerden ibaret olduğu düşünülmektedir. Eski Mezopotamya ve Mısıruygulamada kullandıkları matematik bilgilerini kurumsal olarak ifade edebilme ve formülle gösterebilme aşamasına gelememişlerdir. Bilim, felsefe, mtematik, cebir, geometri, gerçek anlamda Yunan Uygarlığı ile başlamıştır.

5141
MATEMATİK / Ynt: Polinom -> Yaprak Test
« : 04/07/11, 08:57 »

   
Aşağıdaki resim küçültülmüştür. Buraya tıklayarak büyütebilirsiniz. Resmin orijinal boyutları 1275x1755 ve 135KB.

5142
MATEMATİK / Polinom -> Yaprak Test
« : 04/07/11, 08:57 »

   
Aşağıdaki resim küçültülmüştür. Buraya tıklayarak büyütebilirsiniz. Resmin orijinal boyutları 1275x1755 ve 106KB.

5143
MATEMATİK / ÜSLÜ SAYILAR
« : 04/07/11, 08:55 »
ÜSLÜ SAYILAR











5144
MATEMATİK / Trigonometri
« : 04/07/11, 08:53 »
Trigonometri



TRİGONOMETRİ

Bir Dar Açının Trigonometrik Oranları

ABC dik üçkeninde:
c

b a a : karşı dik kenar uzunluğu
b hipotenüsün uzunluğu
A c B


c : karşı dik kenar uzunluğu
d hipotenüsün uzunluğu



a : karşı dik kenarın uzunluğu
c komşu dik kenarın uzunluğu



c = komşu dik kenarın uzunluğu şeklinde ifade edilir.
a karşı dik kenarın uzunluğu



Trigonometrik Oranlar Arasındaki Özellikler:

0<A<90 olmak üzere, birbirini 90 ye bağlayan iki açıdan birinin
sinüsü, diğerinin kosinüsüne eşittir.
sin Â+cos Â= 1 dir. Sin Â= cos (90-Â)

Tan  . cot Â= 1 dir.

Birbirini 90 ye bağlayan iki açıdan birinin
Tanjantı, diğerinin kotenjantına eşittir.
tan Â= cot (90-Â)
sin Â
tanÂ= cos Â


cos Â
cotÂ= sin Â


Trigonometri Cetveli:

Trigonometrik oranlar tablosu incelenirse, şu özelliklerle karşılaşılır:
Bir dar açının ölçüsü 1 den 89 ye kadar artarsa:
Sinüsü 0,0175 ten 0,9998 e kadar artar,
Kosinüsü 0,9998 den 0,0175 e kadar azalır,
Tanjantı 0,0175 ten 57,2900 e kadar artar,
Kotenjantı 57,2900 den 0.0175 e kadar azalır.

Trigonometrik olayların artışı yada azalışı açı ile orantılı değildir. Yani açı 2,3,4,....... kat büyüdüğünde bunun kosinüsü de 2,3,4,....... kat büyümez.
ÖRNEK:
Cos 40=4cos10 dir.

KONU İLE İLGİLİ ÇIKMIŞ SORULAR
Örnek 1:
Sin10. Tan30. Cos20. Sin30 işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisine eşittir?
Cos80. Cot60.sin70 (1996-DPY)

Çözüm:

Sin10=cos80
Tan30=cot60
Cos20=sin70 dir. Bunları, verilen ifadede yerine koyalım.
Cos80. Cot60. Sin70. Sin30
=
cos80.cot60. sin70

=sin30

Örnek 2: 15
0<s(x)<90 ve cos x= ise, tan x aşağıdakilerden hangisidir?
20 (1994 –FL)

Çözüm:

A Buna göre pisagor bağıntısından;
Y*=17*-15*
17 y*=289-225
y=8 birimdir. Veya 8,15,17 özel üçkeninden y nin 8 olduğunu
B 30 C bulabiliriz.
15 |ac| 8
buna göre tan x = = olur.
|bc| 15

ÖRNEK 3:
A
Şekilde [AH] [BC],
5 5
Tan B= ve tan c= ise,
8 13
B H C
ABC üçkeninin alanı aşağıdakilerden hangisine eşittir?
(1991 – FL)
ÇÖZÜM:
h 5 8h
Tan B= = ise , p =
P 8 5

h 5 13h
Tan C= = ise, k =
k 13 5

8h 13h 21h
|BC| =P+K = + =
5 5 5
|BC| .|AH|
A(ABC) =
2

1 21h 21 21
A(ABC)= . .h = h* = |AH|* olur.
2 5 10 10



Örnek 4: Sin*x + cos*x = 1 olduğuna göre

Sin x – cos x ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir ?
Sin x – cos x
(1990 – FL)
Çözüm:
Sin x – cos x sin x – cos x
= =
(sin* x + cos* x) . (sin* x – cos* x) 1. (sin* x – cos* x)

(sin x – cos x)
=
(sin x + cos x) . (sin x – cos x)

1
= olur.
sin x + cos x


Örnek 5:

C Şekildeki ABC dik üçgeninde s(Â)=90 ve
A,b,c kenar uzunluklarını gösterdiğine göre,
(sin b)* + (sin c)* ifadesi aşağıdakilerden
B a hangisidir ?

(1993 – FL)

A c B

Çözüm:
b c
Sin(B) = ve sin(C) =
a a
b* c* b* + c*
(sin B)* 4 (sin C)* = + =
a* a* a*

pisagor bağıntısından a* = b* + c* olduğundan
a*
(sin B)* + (sin C)* = = 1 olur.
a*

Örnek 6:

Sin 30 . cos 60 ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir ?
2 tan 45

A) 1 B) 1 C) 1 D) 1
2 4 8 14

Örnek 7:
Sin 53
1- ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir ?
cos 37

A) – 2 B) - 1 C) 0 D) 1
2 2


Örnek 8:
1
(cos x). (tan x) . ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir ?
sin x

A) 1 B) 0 C)cos x D) sin x

Örnek 9:
A
Şekildeki ABC üçkeninde, cotg B + cotg C =4 ve
|AH| = 3 cm ise, |BC| kaç cm dir ?
(1996-FL/AÖL)
3 cm

B C

A)8 B)10 C)12 D)14

Örnek 10:

D C Aşağıdakilerden hangisinde verilenlerle şekildeki
ABCD dikdörtgeninin çevresi bulunamaz ?

A) |AB| ile |BC| nin çarpımı
A a B B)|BC| ve sin a
C)|AC| ve sin a
D)|AB| ve |BC|































5145
MATEMATİK / matematik geçmişi
« : 04/07/11, 08:49 »
Matematik bütün bilimlerin temelini oluşturan ve geçmişi insanlığın başlangıcı kadar eski sayılabilecek bir bilim dalıdır. İnsanlık tarihinin en eski bilimlerinden olan matematik bütün pozitif bilimlerin ve teknolojik gelişmelerin temelini oluşturmaktadır. Matematiği diğer bilimlerden ayıran en önemli özellik, kalıcı ve kesin olmasıdır. Yüzlerce, binlerce yıl önce kanıtlanan matematiksel gerçekler bugün ilk günkü kadar doğru ve geçerlidir.

Marmara Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü 1982 - 1983 yılında fakültenin kuruluşu aşamasında açılan ilk üç bölümden birisidir. Bilim ve teknolojideki ilerlemelere paralel olarak öğrencilere en iyi eğitimi verme amacıyla gelişimini sürdürmektedir. Matematik Bölümünün temel amacı matematiğe ilgi duyan lisans öğrencilerine temel matematik formasyonunu vererek bu alanda araştırma yapma yeteneğini artıracak seviyeye getirmektir. Matematiğin hem kuramsal hemde uygulamalı yönleri dengeli bir programla yürütülmektedir.

Matematik bölümü lisans ders programı saf ve uygulamalı matematikte temel bilgileri ve matematiksel düşünce sistemini sunmayı amaçlar. Bu çerçevede ilk yıldan başlayarak öğrenciler kendilerine sunulan kavram, tanım ve teoremlerle matematik bilgi düzeylerini yükseltirken, çeşitli teknikleri kullanarak matematiksel yeteneklerini geliştirme olanağı bulurlar. Lisans programı öğrencilerin tümünün yüksek lisans ve doktora programına devam edeceği varsayımı ile hazırlanmıştır.

Lisansüstü matematik programı yüksek lisans ve doktora derecelerini kapsamaktadır. Bu programda yüksek düzeyde temel bilgiler veren derslerin ardından her öğrenci için bir tez konusu seçilmektedir.

Lisans düzeyindeki matematik derslerini başarıyla tamamlamış öğrenciler gerek yurtiçi ve gerekse yurtdışında konuyla ilgili yüksek lisans ve doktora programlarına devam ederek bu alandaki çalışmalarını sürdürebilirler. Ayrıca, Matematik bölümünden mezun olan öğrenciler edindikleri bilgi ve analitik düşünme yeteneği ile başta bankacılık, sigortacılık, aktüerya, araştırma ve danışmanlık ile bilgisayar şirketleri olmak üzere hemen hemen her alanda başarıyla görev yapmaktadır.

Sayfa: 1 ... 341 342 [343] 344 345 ... 2066

Seo4Smf 2.0 © SmfMod.Com | Smf Destek